数学では、分数は全体の一部を表します。12個に分けられたチョコレートバーを考えてみましょう – 5個食べたら、チョコレートバーの ⁵/₁₂ を消費したことになります。分数には2つの要素があります：分子（上の数字）は考慮している部分の数を示し、分母（下の数字）は全体の中の等しい部分の総数を示します。

例えば、分数 ⁵/₁₂ では：

• 5が分子
• 12が分母

重要な注意点：分母を0にすることは決してできません – チョコレートバーを0個に分けようとするようなものです！数学的に不可能で未定義です。

分数の基本演算

1. 足し算

分数を足すとき、異なるチョコレートの pieces を組み合わせようとするようなものです – 同じサイズの pieces（通分）が必要です。方法は以下の通り：

第一の方法：すべての分母を掛ける

x/y + p/q = (x×q)/(y×q) + (p×y)/(q×y) = (xq + py)/(yq)

例：
⁵/₆ + ²/₇ = (5×7)/(6×7) + (2×6)/(7×6)
          = ³⁵/₄₂ + ¹²/₄₂
          = ⁴⁷/₄₂

3つ以上の分数の場合：

²/₅ + ¹/₄ + ³/₈ = (2×4×8)/(5×4×8) + (1×5×8)/(4×5×8) + (3×5×4)/(8×5×4)
                = ⁶⁴/₁₆₀ + ⁴⁰/₁₆₀ + ⁶⁰/₁₆₀
                = ¹⁶⁴/₁₆₀
                = ⁴¹/₄₀

第二の方法：最小公倍数（LCM）を見つける

例えば、²/₅、¹/₄、³/₈ を足す場合：

• 5の倍数：5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40
• 4の倍数：4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
• 8の倍数：8, 16, 24, 32, 40

LCM = 40, よって：

²/₅ = ¹⁶/₄₀
¹/₄ = ¹⁰/₄₀
³/₈ = ¹⁵/₄₀

¹⁶/₄₀ + ¹⁰/₄₀ + ¹⁵/₄₀ = ⁴¹/₄₀

2. 引き算

足し算と同様ですが、pieces を取り除きます：

x/y - p/q = (x×q)/(y×q) - (p×y)/(q×y) = (xq - py)/(yq)

例：
⁷/₈ - ²/₅ = (7×5)/(8×5) - (2×8)/(5×8)
          = ³⁵/₄₀ - ¹⁶/₄₀
          = ¹⁹/₄₀

3. 掛け算

掛け算は簡単 – 上と上、下と下を掛けます：

x/y × p/q = (x×p)/(y×q)

例：
⁵/₆ × ⁴/₇ = ²⁰/₄₂ = ¹⁰/₂₁

4. 割り算

割り算では、2番目の分数を逆数にして掛けます：

x/y ÷ p/q = x/y × q/p = (x×q)/(y×p)

例：
⁵/₆ ÷ ⁴/₇ = ⁵/₆ × ⁷/₄ = ³⁵/₂₄

数の変換

小数から分数へ

各小数位は10の累乗を表します：

• 0.7 = ⁷/₁₀
• 0.25 = ²⁵/₁₀₀ = ¹/₄
• 0.875 = ⁸⁷⁵/₁₀₀₀ = ⁷/₈

例： 0.3456は万分の一の位なので： 0.3456 = ³⁴⁵⁶/₁₀₀₀₀ = ⁴³²/₁₂₅₀

分数から小数へ

10の累乗の因数である分母の場合：

• ¹/₄ = ²⁵/₁₀₀ = 0.25
• ³/₅ = ⁶/₁₀ = 0.6
• ⁷/₈ = ⁸⁷⁵/₁₀₀₀ = 0.875

その他の分数の場合、分子を分母で割ります： ⁵/₆ = 0.8333…

分数の約分

常に最大公約数で上下を割って約分します：

• ¹⁶/₂₄ = ⁸/₁₂ = ²/₃ （8で割り、次に4で割る）
• ⁴⁵/₆₀ = ³/₄ （15で割る）
• ¹⁰⁰/₂₅₀ = ²/₅ （50で割る）

実世界での応用

1. 料理：
2. レシピで砂糖 ³/₄ カップが必要で、2倍にしたい場合 = ⁶/₄ = 1½ カップ
3. 牛乳 ²/₃ カップが必要なレシピを半分にする = ¹/₃ カップ
4. 建設：
5. 木材の測定：5⁵/₈ インチ + 3³/₈ インチ = 9インチ
6. 10フィートの板を6等分する = 1⁶/₈ フィートずつ
7. 買い物：
8. 25%オフ = 価格の ¹/₄ の割引
9. 元の価格の ⁷/₈ = 12.5%割引

この分数の理解は多くの分野で重要です：

• 工学：精密測定
• 金融：利率の計算
• スポーツ：打率
• 音楽：拍子記号
• 科学：化学的比率